حلقه های کوته چپ و مدول های c-تصویری محض

در این رساله ما بخشی از سو?ال کوته را که در مرجع [11] بیان شده پاسخ می دهیم: کدام حلقه های ‎r‎ هستند که هر -rمدول چپ (چپ و راست) مجموع مستقیمی از -r‎مدول های دوری است؟ فرض کنیم ‎r‎ حلقه ای باشد که عناصرخودتوان آن مرکزی باشند. ثابت خواهیم کرد که اگر ‎r‎ حلقه ی کوته چپ (یعنی، هر ‎-r‎مدول چپ مجموع مستقیمی از -r‎مدول های چپ دوری است) باشد، آن گاه r حلقه ایدآل راست اصلی آرتینی است. این نتیجه می دهد که، ‎r‎ یک حلقه کوته (یعنی، هر ‎r- مدول چپ و راست مجموع مستقیمی از ‎-r‎مدول های دوری است) است اگر و تنها اگر ‎r‎ یک حلقه ایدآل اصلی آرتینی باشد. این تعمیمی از قضیه ی کوته-کوهن-کاپلانسکی در مراجع [11] ‎ و [37] می باشد. همچنین یک سو?ال طبیعی جالب در این راستا این است که آیا اگر در بالا فرض کنیم هر ایدآل مجموع مستقیمی از مدول های دوری باشد، باز هم قضایا برقرار هستند؟ در این رساله به این سو?ال در حالتی که حلقه ی ‎r‎ حاصل ضرب تعداد متناهی حلقه ی موضعی نوتری تعویض پذیر باشد پاسخ می دهیم. ساختار چنین حلقه هایی را به طور کامل شرح می دهیم و در واقع یک مشخص سازی از حلقه های آرتینی تعویض پذیر با این خاصیت به دست می آوریم. همچنین در این رساله به مطالعه ی حلقه های تعویض پذیر که هر ایدآل اول شان مجموع مستقیمی از مدول های دوری است می پردازیم. در حالتی که حلقه ی ‎r‎ حاصل ضرب تعداد متناهی حلقه ی موضعی تعویض پذیر است ساختار چنین حلقه هایی را به طور کامل شرح می دهیم. به علاوه برای یک حلقه موضعی نوتری تعویض پذیر‎ (r‎, m) نشان می دهیم برای بررسی این که چه موقع هر ایدآل اول ‎r‎ مجموع مستقیمی از حداکثر ‎n‎ مدول دوری است، کافی است ایدآل ماکسیمال‎m ‎ را بررسی کنیم. در پایان به بررسی ساختار مدول های ‎-c‎تصویری محض می پردازیم. در این راستا نشان می دهیم که حلقه ‎r‎ نوتری چپ است اگر و تنها اگر هر ‎-r‎مدول چپ ‎-c‎تصویری محض، تصویری محض باشد. همچنین روی یک حلقه نوتری موروثی چپ ‎rثابت می کنیم که یک ‎-r‎مدول چپ ‎m‎، ‎-c‎تصویری محض است اگر و تنها اگر ‎ m=n+ p‎ که در آن ‎n‎ مجموع مستقیمی از ‎-r‎مدول های چپ دوری و ‎p‎ یک ‎-r‎مدول چپ تصویری می باشد. در ادامه رابطه ی مدول های ‎-c‎تصویری محض را با مدول های تصویری محض و مدول های ‎-rd‎-تصویری مورد مطالعه قرار می دهیم. در این راستا نشان می دهیم برای یک حلقه موضعی دئو ‎r‎، رده ‎-r‎مدول های چپ تصویری محض و رده ‎-r‎مدول های چپ ‎-c‎تصویری محض منطبق اند اگر و تنها اگر ‎r‎ یک حلقه ایدآل اصلی باشد. همچنین برای یک حلقه ی تام چپ دئو ‎r‎، رده ‎-r‎مدول های چپ تصویری محض و رده ‎-r‎مدول های چپ ‎-cتصویری محض منطبق اند اگر و تنها اگر r‎ یک حلقه کوته باشد. به علاوه حلقه های تعویض پذیری را که رده مدول های -c‎تصویری محض و رده مدول های ‎-rdتصویری منطبق اند را مشخص سازی می کنیم. در واقع ثابت می کنیم که اگر ‎r‎ یک ‎p.p‎حلقه چپ باشد که هر ‎-r‎مدول ‎-c‎تصویری محض،-rd‎تصویری باشد، آن گاه ‎r‎ یک حلقه نوتری چپ و موروثی چپ می باشد. سپس ثابت می کنیم که اگر ‎r‎ تعویض پذیر باشد عکس این قضیه نیز برقرار است، ولی با مثالی نشان می دهیم که عکس این قضیه در حالت تعویض ناپذیر لزوماً برقرار نیست‎.